ツールバーの切り抜きツールが表示されなかったため、調べたところ下記のページを見つけました
編集→ツールバーからツールバーの表示内容を変更できるという内容になっているのですが、どうしても編集の中にツールバーが見つかりません。
しばらく色々と調べたのですが、下記のページにて新機能として紹介されていることを考えると、おそらくですが、自分が使用していた「Photoshop CC 2015の0.1」では、ツールバーのカスタマイズが提供されておらず、2016年にアップデートで追加された機能だった可能性が高そうです。
［Photoshop］ツールバーをカスタマイズできるようになった！
結果、Photoshop CCを2018バージョンにアップデートしたところ、切り抜きツールもツールバーのカスタマイズ機能も無事表示されました。
アップデートはマメにした方がいいですね…。
同じようなことが起こっている方がいらっしゃれば、もし参考になりましたら幸いです。